Prerequisites본 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
미정계수법 소개미정계수법(method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나다. 일반적으로 상수 계수를 갖는 상미분 방정식을 풀 때 사용하면 잘 풀리는 방법으로 알려져 있다. 가령 아래와 같은 미분방정식을 생각해보자. (이 식은 비제차 미분방정식의 의미 편의 식 (9)와 같다.) \[x''-4x'+3x=t\] 우리는 비제차 미분방정식에 대해 성립하는 solution $x_p(t)$가 다음과 같이 대입했을 때 성립한다는 것을 알고 있다. \[x_p''-4x_p'+3x_p=t\] 미정계수법의 아이디어는 particular solution을 미분하고 선형 결합한 결과는 particular solution의 형태와 유사할 것이라는 것이다. 다시 말해, 다항함수를 미분하면 다항함수가 나오고, 지수함수를 미분하면 그대로 지수함수가 나오는 등의 현상을 이용한 아이디어이다. 즉, 식 (1)과 같은 미분방정식의 particular solution은 \[x_p(t)=At+B\] 의 형태를 띌 것이라고 가정하는 것은 타당한 가정이라고 할 수 있다. 미정계수 테이블식 (1)의 $t$와 같은 비제차 항은 여러가지 형태가 나올 수 있는데 보통 다항식, 삼각함수, 지수함수의 꼴로 나온다면 아래와 같이 미정계수를 정해 particular solution을 가정하여 풀이를 시도해볼 수 있다.
 그림 1. 미정계수법을 이용 시 적용할 수 있는 particular solution의 형태 그림 출처: Advance Engineering Mathematics, Dennis G. Zill, 6th ed., Jones & Bartlett Learning 여기서 $x_p$의 형태가 그렇게 다양하지 않다는 점이 보일 수도 있다. 다시 말해, 미정계수 방법을 이용할 때에는 비제차 항이 다항함수, 사인함수, 코사인 함수, 지수함수 혹은 이들의 선형결합일 경우에만 적용할 수 있다. 이 외의 비제차 항에 대해서는 매개변수 변환법을 이용해야 한다. 예제 문제 풀기예제 문제 1미정계수법을 이용해 간단한 예제를 한번 풀어보도록 하자. 가령 식 (1)의 경우 particular solution의 꼴을 \[At+B\] 와 같이 두고 문제를 풀어볼 수 있다. 2계 선형미분방정식의 해법(2) 편에서 본 내용을 적용하면 비제차 미분방정식의 완전해는 homogeneous solution과 particular solution의 합이다. 식 (1)의 homogeneous solution은 다음과 같이 풀 수 있다. 식 (1)의 제차미분방정식 형태는 다음과 같다. \[x''-4x'+3x = 0\] 여기서 $x=e^{\lambda t}$라고 가정하여 대입하면, \[\lambda^2e^{\lambda t}-4\lambda e^{\lambda t}+3e^{\lambda t} = 0\] $e^{\lambda t}$로 식을 묶어주면, \[e^{\lambda t}(\lambda^2-4\lambda+3) = 0\] $e^{\lambda t}$는 항상 양수이므로, \[\lambda^2-4\lambda+3 = 0\] 이고 $\lambda$는 \[\lambda = 1 \quad \text{ or } \quad 3\] 이다. 따라서, homogeneous solution은 \[x_h = c_1e^t+c_2e^{3t}\] 이다. 그러면 homogeneous solution에 particular solution을 합친 것을 일반해라고 볼 수 있으므로 우리의 일반해는 아래와 같은 형태가 될 것이다. \[x(t) = c_1e^t + c_2e^{3t}+At+B\] 한편, particular solution은 원래의 식 (1)의 미분방정식에 대입해도 성립해야 하므로, \[x_p' = A\] \[x_p'' = 0\] 라는 관계를 이용해 원래 식 (1)에 대입하면, \[식 (1)\Rightarrow -4A+3(At+B)\] \[\Rightarrow 3At-4A+3B=t\] 따라서 $3A = 1$ 이고 $-4A+3B = 0$ 이므로, \[A=1/3, \quad B = 4/9\] 와 같다. 따라서, 식 (1)의 일반해는 \[x(t) = c_1e^t + c_2e^{3t}+\frac{1}{3}t+\frac{4}{9}\] 이다. 예제 문제 2아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오. \[x''-x'+x = 2\sin(3t)\] 이 문제를 보면 particular solution의 꼴을 $A\sin(3t)$라고 설정할 수 있지만 $\sin(3t)$를 여러번 미분하다보면 $\sin(3t)$ 뿐만 아니라 $\cos(3t)$의 꼴도 함께 얻어지게 된다는 것을 생각해볼 수 있다. 따라서, 우리는 particular solution의 형태를 다음과 같이 생각할 수 있다. \[x_p=A\cos(3t)+B\sin(3t)\] 이제 $x_p$를 미분하고 원래 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. \[x_p'' -x_p'+x_p = (-8A-3B)\cos(3t)+(3A-8B)\sin(3t)=2\sin(3t)\] 따라서, \[-8A-3B=0\] \[3A-8B = 2\] 이다. 따라서, \[A=\frac{6}{73},B =-\frac{16}{73}\] 이다. 따라서, particular solution은 \[x_p(t)=\frac{6}{73}\cos(3t)-\frac{16}{73}\sin(3t)\] 이다. 예제 문제 3아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오. \[x''-5x'+4x=8e^{t}\] 이번 문제는 약간 독특한데, 만약 우변에 있는 형태 그대로 particular solution을 $Ae^{t}$라고 상정해보면 문제가 풀리지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다. 실제로 대입해보면, \[Ae^{t}-5Ae^t+4Ae^t=8e^{t}\] 이므로 $0=e^{8t}$와 같은 이상한 결과를 얻게 되어서 기존의 미정계수법으로는 문제를 풀 수 없음을 알 수 있다. 이렇게 문제가 풀리지 않는 이유는 주어진 미분방정식의 제차 꼴의 미분방정식의 기저해 중 하나가 $e^t$이기 때문이다. 우리는 reduction of order 편에서 봤던 내용과 유사하게 $e^t$와 선형독립인 새로운 기저 $te^t$를 particular solution의 기저해로 잡고 문제를 풀어보자. \[x_p=Ate^t\] 따라서, \[x_p'=Ae^t+Ate^t\] 이고 \[x_p''=Ae^t+Ae^t+Ate^t=2Ae^t+Ate^t\] 임을 알 수 있으며, 원래의 미분방정식에 대입하면, \[x_p''-5x_p'+4x_p=-3Ae^t=8e^t\] 와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서, \[x_p=-\frac{8}{3}te^t\] 임을 알 수 있다. 2차 비제차 선형 상미분방정식(2nd Order Nonhomogeneous Linear ODEs)이 있습니다. $$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x) \quad \cdots~(*)$$ $$r(x) \ne 0$$ nonhomogeneous ODE의 general solution은 다음과 같은 형태입니다. $$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$ $y_h(x) = c_1y_1 + c_2y_2$ : general solution of homogeneous ODE $y_p(x)$ : 미분방정식 (*)을 만족시키는 어떤 해(단, 임의의 상수는 포함하지 않는 해) $y_h$는 지금까지 공부한 방법으로 구할 수 있습니다. 이번 장에서는 $y_p$를 어떻게 구할 것인지에 대해 알아보도록 하겠습니다. 미정계수법 - Method of Undetermined Coefficients $y_p$는 미정계수법을 이용해서 구할 수 있습니다. 이 방법은 주로 상수 계수 미분방정식의 풀이에 사용됩니다. $$y'' + ay' + by = r(x)$$ 미정계수법엔 총 세 가지 법칙이 적용됩니다. (a) Basic Rule. 아래 표에 의거하여, $r(x)$에 따라 적당한 $y_p(x)$를 추정한다.
(b) Modification Rule. 만약 rule(a)에 따라 결정한 $y_p$와 homogeneous ODE를 풀어서 구한 $y_h$가 같다면(겹친다면), $y_p$에 $x$(중근과 겹친다면 $x^2$)를 곱해준다. 예제 2.를 통해 더 확실히 이해할 수 있습니다. (c) Sum Rule $r(x)$가 표에 적힌 함수들의 합으로 구성되어 있다면, $y_p$도 그에 해당하는 함수들의 합으로 추정한다. 예제 1. Rule (a)에 대한 예제. $$y'' + y = 0.001x^2,\quad y(0) = 0,\quad y'(0) = 1.5$$ Homogeneous ODE $$y'' + y = 0$$ 의 Characteristic Equation을 구하면, $$\lambda^2 + 1 = 0$$ $$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2= \sin{x}$$ $$y_h = A\cos{x} + B\sin{x}$$ $r(x) = 0.001x^2$이므로 $$y_p = K_2x^2 + K_1x + K_0$$ 로 추정한 후, 미분방정식에 대입합니다. $$y_p' = 2K_2x + K_1,\quad y_p'' = 2K_2$$ $$\Rightarrow \quad (2K_2) + (K_2x^2 + K_1x + K_0) = 0.001x^2$$ $$\Rightarrow \quad K_2x^2 + K_1x + (2K_2 + K_0) = 0.001x^2$$ 계수를 비교하면, $$K_2= 0.001,\quad K_1= 0 ,\quad K_2 = -0.002$$ $$y_p = 0.001x^2-0.002$$ 따라서 general solution은 다음과 같습니다. $$y = y_h + y_p = A\cos{x} + B\sin{x} + 0.001x^2 - 0.002$$ 이제 초기값을 이용해서 상수 A, B의 값을 정합니다. $$y(0) = A - 0.002 = 0\quad \therefore \quad A = 0.002$$ $$y'(0) = B = 1.5$$ $$\therefore\quad y = 0.002\cos{x} + 1.5\sin{x} + 0.001x^2 -0.002$$ 예제 2. Rule (b)에 대한 예제. $$y'' + 3y' + 2.25y = -10e^{-1.5x},\quad y(0) = 1,\quad y'(0) = 0$$ Homogeneous ODE $$y'' + 3y' + 2.25y = 0$$ 의 Characteristic Equation을 구하면, $$ \lambda^2 + 3\lambda + 2.25 = 0$$ $$ \Rightarrow (\lambda + 1.5)^2 = 0$$ $$\therefore \quad y_h = (c_1 + c_2x)x^{-1.5x}$$ $r(x) = -10e^{-1.5x}$이므로 $y_p = Ke^{-1.5x}$로 추정하려고 했으나, $y_h$의 basis $e^{-1.5x}$와 겹치므로, (게다가 $e^{-1.5x}$가 중근이므로) $x^2$을 곱한 $$y_p = Kx^2e^{-1.5x}$$ 를 해로 추정합니다. 이후 $y_p$를 미분방정식에 대입합니다. $$y_p' = 2Kxe^{-1.5x} -1.5Kx^2e^{-1.5x}$$ $$ = K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$ $$y_p'' = K(2-3x)e^{-1.5x} - 1.5K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$ $$ = K(2.25x^2 - 6x + 2)e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad K(2.25x^2-6x+2)e^{-1.5x} +3K(2x-1.5x^2)e^{-1.5x} + 2.25Kx^2e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad (2.25K - 4.5K + 2.25K)x^2e^{-1.5x} + (-6K + 6K)xe^{-1.5x} + 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$ $$\therefore \quad K = -5$$ $$y_p = -5x^2e^{-1.5x}$$ general solution을 구하면, $$y = y_h + y_p = (c_1 + c_2x)e^{-1.5x} -5x^2e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad y = (c_1 + c_2x -5x^2)e^{-1.5x}$$ 초기값을 이용하면, $$y(0) = c_1 = 1$$ $$y'(0) = c_2 - 1.5c_1 = c_2 - 1.5 = 0$$ $$\therefore \quad y = (1+ 1.5x-5x^2)e^{-1.5x}$$ 예제 3. Rule (c)에 대한 예제. $$y'' + 2y' + 0.75y = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x, \quad y(0) = 2.78,\quad y'(0) = -0.43$$ 먼저 Homogeneous ODE의 general solution을 구해보면, $$y_h = c_1e^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x}$$ $r(x) = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$를 보아 $y_p$를 다음과 같이 추정한 후 원래 미분방정식에 대입합니다. $$y_p = A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0$$ $$y_p' = -A\sin{x} +B\cos{x} +K_1$$ $$y_p'' = -A\cos{x} -B\sin{x}$$ $$\Rightarrow \quad (-A\cos{x} -B\sin{x}) + 2(-A\sin{x} +B\cos{x} +K_1) + 0.75(A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0)$$ $$ = (-A + 2B + 0.75A)\cos{x} + (-B-2A+0.75B)\sin{x} + 0.75K_1x + (2K_1 + 0.75K_0)$$ $$ = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$$ 계수를 비교하면, $$-0.25A + 2B = 2$$ $$-2A - 0.25B = -0.25$$ $$0.75K_1 = 0.09$$ $$2K_1 +0.75K_0 = 0$$ $$\therefore \quad A = 0,\quad B = 1, \quad K_1 =0.12, \quad K_2 = -0.32$$ $$\therefore \quad y_p = \sin{x} + 0.12x -0.32$$ 따라서 미분방정식의 general solution은 다음과 같습니다. $$y = y_h +y_p = c_1c^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x} + \sin{x} + 0.12x -0.32$$ 초기값을 이용해서 상수값을 구하면 다음과 같은 해를 얻습니다. $$y = 3.1e^{-0.5x} + \sin{x} +0.12x-0.32$$ |
2차 미분방정식 미정계수법 - 2cha mibunbangjeongsig mijeong-gyesubeob
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