제차 비제차 의미 - jecha bijecha uimi

​<제차방정식>

다음과 같은 형태의 선형 n계 미분방정식을 제차(homogeneous)라 한다.

제차 비제차 의미 - jecha bijecha uimi

다음과 같이 g(x)가 영이 아닌 미분방정식을 비제차(nonhomogeneous)라 한다.

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앞으로 비제차 선형방정식 (2)를 풀기 위해서는

먼저 연계(associated) 제차방정식 (1)을 풀 수 있어야 한다.

정리를 기술할 때마다 다음과 같은 중요한 가정을 한다.

어떤 공통구간 I에서 다음 세 가지가 성립한다고 본다.

(1) 계수들 ai(x), i=1, 2, …, n은 연속이다.

(2) 우변항 g(x)는 연속이다.

(3) 그 구간 내의 모든 x에 대해 an(x)≠0이다.

다음 정리는 중첩의 원리라는 것으로

제차 선형 미분방정식의 두 개 이상의 해의 합

중첩(superposition)도 역시 해가 됨을 보여 준다.

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이 정리의 따름정리로서 다음 두 가지가 성립한다.

제차 비제차 의미 - jecha bijecha uimi

만일 어떤 구간 I에서 모든 x에 대해 다음이 성립한다고 하자.

c₁f₁(x)+c₂f₂(x)+…+cnfn(x)=0

모두가 동시에 영이 아닌 상수 c₁, c₂, …, cn이 존재한다면,

함수 f₁(x), f₂(x), …, fn(x)의 집합을

그 구간에서 일차종속(linearly dependent)이라 한다.

만약 함수의 집합이 그 구간에서

일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이라 한다.

이것은 다시 말해서 만일 어떤 구간 내의 모든 x에 대해

위 식을 만족시키는 상수가 오직 c₁=c₂=…=cn=0이라면

그 함수들의 집합은 그 구간에서 일차독립이다.

두 함수로 이루어진 경우를 고려하여 이해하자.

함수 f₁(x), f₂(x)가 어떤 구간에서 일차종속이면

그 구간의 모든 x에 대해 c₁f₁(x)+c₂f₂(x)=0을 만족시키고

동시에 영이 아닌 상수 c₁, c₂가 존재한다.

따라서 만일 c₁≠0라고 가정하면 f₁(x)=(-c₂/c₁)f(x)가 된다.

즉 두 함수가 일차종속이면 한 함수는

단지 다른 함수의 상수배가 된다.

역으로 어떤 상수 f₁(x)=c₂f₂(x)이면

어떤 구간의 모든 x에 대해 -f₁(x)+c₂f₂(x)=0이 된다.

따라서 적어도 하나의 상수가 영이 아니므로 두 함수는 일차종속이다.

반대로 어느 함수도 다른 함수의 상수배가 아니면

두 함수는 일차독립이다.

============<예제 1>============

다음 함수들이 일차종속인지 일차독립인지 확인하라.

(1) f₁(x)=x, f₂(x)=x-1, f₃(x)=x+3

(2) f₁(x)=5, f₂(x)=cos²x, f₃(x)=sin²x

(1) 다음 식을 통해서 일차종속임을 확인할 수 있다.

-4f₁(x)+3f₂(x)+f₃(x)=0

(2) sin²x+cos²x=1임을 이용하면 이 경우도 역시 일차종속이다.

-f₁(x)+5f₂(x)+5f₃(x)=0

==============================

제차 선형 n계 미분방정식 (1)의 n개의 해 y₁, y₂, …, yn

일차독립인지 아닌지는 행렬식을 사용해서 판명할 수 있다.

각 함수 f₁(x), f₂(x), …, fn(x)가 적어도

n-1개의 도함수를 가진다고 가정하자.

다음과 같은 행렬식을 함수들의 Wronskian이라 부른다.

​(프라임 기호는 미분을 표시한다.)

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다음 정리에 따르면 y₁, y₂, …, yn이 구간 I에서

방정식 (1)의 n개의 해라면

Wronskian W(y₁, y₂, …, yn)은 항상 영이든지

아니면 구간에서 절대로 영이 되지 않든지 둘 중의 하나이다.

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제차 선형 n계 미분방정식의 n개의 일차독립 해의 집합은

특별한 이름을 가지게 되는데

구간 I에서 제차 선형 n계 미분방정식 (1)의

임의의 n개의 일차독립인 해 y₁, y₂, …, yn의 집합을

그 구간의 해의 기본집합(fundamental set of solution)이라 부른다.

​선형방정식에 대해 해의 기본집합이 과연 존재하느냐는

기본적인 질문은 다음 정리로 해결된다.

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어떤 3차원 벡터든지 일차독립인 벡터 ​i​, ​j​, ​k​의 일차결합으로

나타낼 수 있다는 사실과 유사하게

구간 I에서 n계 제차 선형 미분방정식의 모든 해는

I에서 n개의 일차독립 해의 일차결합으로 표현할 수 있다.

다시 말하면 n개의 일차독립 해 y₁, y₂, …, yn

그 방정식의 일반해를 구성하는 기본 구성요소이다.

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<비제차방정식>

비제차방정식 (2)의 일반해를 구하는 방법은 다음 정리에 있다.

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이 정리에 따르면 비제차 선형방정식의 일반해는

두 함수의 합으로 구성된다.

y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+…+cnyn(x)+yp(x)=yc(x)+yp(x)

방정식 (1)의 일반해이기도 한 일차결합 yc(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+…+cnyn(x)를

방정식 (2)의 여함수(complementary function)라 한다.

다시 말해서 비제차 선형 미분방정식을 풀기 위해서는

먼저 연계 제차방정식을 푼 뒤에

비제차방정식의 특수해를 구한다.

그러면 비제차방정식의 일반해는 다음과 같이 된다.

y=(여함수)+(특수해)