확률밀도함수 확률구하기 - hwaglyulmildohamsu hwaglyulguhagi

1st ed.

[확률과 통계] 18. 확률밀도함수, Probability Density Function of Continuous Random Variable

앞서 확률질량함수를 알아봤는데, 확률질량함수가 이산확률변수에 관한 것이라면, 이번에 알아 볼 확률밀도함수는 '연속확률변수'에 관한 확률함수 입니다.

다시 한 번 복습하자면, 확률이 흩어져 퍼져 있는 것을 '확률분포'라고 하는데, 이 흩어져 있는 것을 '함수'를 이용해 표현한다고 했습니다. 따라서 확률분포는 함수입니다. 이산확률변수는 "확률변수 X=1일 때 확률은?" 처럼 딱 떨어지는 확률변수에서 확률을 구할 수 있지만, 연속확률변수는 그렇지 않습니다. 확률과 통계 15번 포스팅에서 설명했듯이 물을 정확히 100.00 ml 따를 수 있는 확률은 현실적으로 0에 가깝습니다. 하지만 이것을 "물을 99ml ~ 101ml 따를 수 있는 확률은?" 과 같이 묻는다면 이 확률은 0이 아니겠죠. 따라서 연속확률변수의 분포를 나타내는 '연속확률분포'에서 확률을 구할 때는 항상 범위로 표현합니다! 이 점을 꼭 숙지해 두시고, '확률밀도함수'에 대해 알아봅시다.

연속확률변수에서 부등호에 붙은 등호는 의미가 없습니다. 왜냐하면 말 그대로 '연속'이기 때문이죠. 만약 연속확률변수 X의 P(3<X<5)의 확률을 구하라고 할 때, 3과 5는 포함되지 않는데 3.000000000000000000001 ~ 4.999999999999999999999 는 분명 3과 5 사이에 포함되죠. 하지만 이것은 극한을 취하면 결국 3과 5가 됩니다. 따라서 연속확률변수에서는 등호는 아무 의미가 없습니다.

확률밀도함수 f(x)는 결국 어떤 확률변수의 크기를 나타내는 값이죠(확률질량함수도 마찬가지 입니다. 단지 확률변수가 이산인지 연속이지만 다를 뿐이죠). 따라서 a와 b 사이의 확률을 구하는 것은 확률밀도함수 그래프의 넓이를 구하는 것입니다. 그래프의 넓이를 구하기 때문에 적분을 이용합니다.

문제 하나 풀어봅시다.

우선 위에서 알아본 확률밀도함수의 정의를 이용합니다.