정육면체 대각선 개수 - jeong-yugmyeonche daegagseon gaesu

이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체정육면체대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

직육면체 대각선의 길이

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이

정육면체 대각선 개수 - jeong-yugmyeonche daegagseon gaesu
를 말해요.

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a2 + b2이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

 =  + 
 = a2 + b2 + c2
 =

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체 대각선의 길이

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

함께 보면 좋은 글

피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명
삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
피타고라스 정리의 활용 - 사각형
사각형의 대각선의 길이 구하는 공식
정삼각형 넓이 공식, 정삼각형의 높이 공식, 삼각형의 높이와 넓이
특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비
좌표평면에서 두 점 사이의 거리

정리해볼까요

입체도형 대각선의 길이

우선 이것을 생각합니다. 직선이 하나의 정육면체를 관통할 때, 생기는 겉면과의 교점의 수는?

언제나 2개 입니다.

문제에서 주어진 세 수 10, 8, 5의 최대공약수는 1이므로 대각선이 작은 정육면체의 꼭지점을 지나는 경우는 없습니다.

따라서 이 경우 대각선은 언제나 정육면체를 관통하게 되고 하나의 정육면체당 교점이 2개가 나옵니다.

이 때, 교점은 정육면체의 면 위에 있을 수도 있고, 모서리 위에 있을 수도 있습니다.

그러면 이제 차근차근 생각해보죠. 대각선을 한쪽 끝에서부터 천천히 그리면서 생각해 보세요.(머릿속에 그리면서...)

대각선을 긋다가 1번째 교점을 만났습니다. 그러면 지금까지 관통한 정육면체는 1개 입니다.
계속 긋다가 2번째 교점을 만났습니다. 그러면 지금까지 관통한 정육면체는 2개 입니다.
계속 이어서 긋다가 3번째 교점을 만났습니다. 그러면 지금까지 관통한 정육면체는 3개 입니다.
....
이제 반대편 대각선의 끝 점을 제외하고 마지막 n번째 교점을 만났습니다. 그러면 지금까지 관통한 정육면체는 n개 입니다.
마지막으로 반대편 대각선의 끝 점까지 선분을 연결하면 관통한 정육면체는 n 1 개가 됩니다.

결론적으로 대각선과 정육면체의 겉면이 n개의 교점을 만들면 대각선이 관통한 정육면체는 n 1개 입니다. ......(1)

즉, 대각선과 정육면체의 겉면과의 교점의 개수만 알면 그것에 1을 더하여 관통한 정육면체의 수를 구할 수 있습니다.

이제 교점의 개수를 구해보죠. 계산과정은 간단합니다.

정육면체 대각선 개수 - jeong-yugmyeonche daegagseon gaesu

우선 그림과 같이 색칠된 방향의 정육면체의 면과의 교점은 10-1 = 9 개 입니다. (양끝의 면을 제외하면 -1을 해 줍니다.)
같은 방법으로 정면방향의 정육면체의 면과의 교점은 8-1 = 7 개,
윗면 방향의 정육면체의 면과의 교점은 5-1 = 4 개 입니다.

따라서 모든 교점은 9 7 4 = 20개 라고 생각할 수 있습니다.

여기서 주의할 것은 교점이 중복된 경우를 빼주는 것 입니다. 만약 교점이 면에서 생기지 않고 모서리에서 생기는 경우는 교점을 두번 계산하게 됩니다.
왜냐하면 두 면의 교선이므로 여기서의 교점은 두 면의 경우에서 각각 계산하게 됩니다.
따라서 우리는 조금 전 얻은 결과에서 대각선이 지나는 모서리의 수를 빼 주어야 합니다.

대각선이 지나는 모서리의 수는
가로방향 : gcd(8,5) - 1 = 1 - 1 = 0
세로방향 : gcd(10,5) - 1 = 5 - 1 = 4
가로방향 : gcd(10,8) - 1 = 2 - 1 = 1
의 총 5개 입니다. ( gcd(a,b)는 a,b의 최대공약수를 뜻합니다.)

따라서 총 교점의 수는 20 - 5 = 15개.

(1)에 의하여 대각선이 관통한 정육면체는 15 1 = 16개 입니다.

참고로 일반화시켜보면 a,b,c 세 수의 최대공약수가 1일 때, 가로, 세로, 높이가 모두 1인 정육면체를 가로 a, 세로 b, 높이 c개 쌓았을 때,
이 직육면체의 대각선이 관통하는 정육면체의 수는

(a-1) (b-1) (c-1) - [gcd(a,b) - 1] - [gcd(b,c) - 1] - [gcd(c,a) - 1] 1
= a b c - gcd(a,b) - gcd(b,c) - gcd(c,a) 1

개 입니다.

이제 변의 길이가 얼마로 주어지든 간단히 풀 수 있겠죠?

도움이 되었길 바랍니다.

좋은하루 되세요~~

[펌] - 이글의 저작권은 글 작성자 또는 저작권자에게 있습니다.